\documentclass{physlecture}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{tikz}
\usepackage{bm, amsmath, amssymb, amsfonts}
\usepackage{float, graphicx}
%\usepackage{flexisym, breqn, mymathutils, bracemath}
\usepackage{mymathutils}

%Ландафшиц --- статфизика

\author{Д.\,А.~Паршин, Г.\,Г.~Зегря}
\lecturenumber{9}
\course{Квантовая механика}

\newcommand{\angstrom}{\mathring{\text{A}}}
\begin{document}
  \maketitle
  \tableofcontents
\section{Трансляционная симметрия.}
Начнём с вопроса о том, какими бывают кристаллические решётки. Самая известная
-- решётка поваренной соли:
\begin{figure}[H]
  \centering
  \includegraphics[width=0.5\textwidth]{nacl-lattice.png}
  \caption{\label{fig:NaClLattice} Кубическая решётка кристалла поваренной соли.}
\end{figure}
Её можно представить в виде двух кубических решёток: кубическая решётка с
атомами натрия в узлах, и такая же решётка, но уже с атомами хлора, сдвинутая
относительно первой на половину периода. Полученная решётка называется 
\emph{гранецентрированной кубической}.
\begin{figure}[H]
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{lattices.png}
  \caption{\label{fig:Lattices} Кубические решётки, слева направо: простая,
  объёмноцентрированная (body-centered) и гранецентрированная (face-centered).}
\end{figure}

Также в физике часто встречается решётка алмаза: это германий, кремний и решётки
полупроводников состава $\text{A}_{\text{III}}\text{B}_{\text{V}}$.
\begin{figure}[H]
  \centering
  \includegraphics[width=10pc]{diamond.png}
  \caption{\label{fig:DiamondLattice} Решётка алмаза.}
\end{figure}
Чтобы получить решётку кремния, нужно построить две гранецентрированных решётки,
совместить их друг с другом и сдвинуть одну из них вдоль объёмной диагонали на
четверть периода.

Основой симметрии в бесконечном пространстве в кристаллической решётке
составляет её трансляционная периодичность: свойство совмещаться с самой собой
при определённых трансляциях на определённую величину и вдоль определённого
направления. Оно также называется \emph{трансляционной симметрией}. Есть ещё
симметрия, при которой совмещение кристалла с самим собой происходит при
комбинации из параллельных переносов, поворотов и отражений. Примером таких
кристаллов является селен.
\section{Решётка Браве.}
Трансляционные периоды решётки можно обозначать вектором \(a_1\). Существует
бесконечно много трансляционных периодов решётки: если \(a_1\) --- трансляционный
период, то и \(2a_1\) --- тоже трансляционный период. Естественно, не все они 
будут независимы, однако можно выбрать тройку основных, из которых можно
составить все трансляции:
\begin{equation}
  \vec{a} = n_1\vec{a_1} + n_2\vec{a_2} + n_3\vec{a_3}.
\end{equation}
Выбор их неоднозначен; более того, вариантов их выбора бесконечно много.
Пример: все выбранные на картинке пары сдвигов являются наборами основных
трансляционных периодов.
\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{tikzpicture}[x=3pc, y=3pc]
    \foreach \x in {0, 1, ..., 7}{
      \draw[dotted] (\x, 0) -- (\x, 7);
    }
    \foreach \y in {0, 1, ..., 7}{
      \draw[dotted] (0, \y) -- (7, \y);
    }
    \draw[ultra thick, -latex] (1, 1) -- (1, 2);
    \draw[ultra thick, -latex] (1, 1) -- (2, 1);
    \draw[ultra thick, dashed] (1, 2) -- (2, 2);
    \draw[ultra thick, dashed] (2, 1) -- (2, 2);

    \draw[ultra thick, -latex] (1, 3) -- (2, 4);
    \draw[ultra thick, -latex] (1, 3) -- (2, 3);
    \draw[ultra thick, dashed] (2, 4) -- (3, 4);
    \draw[ultra thick, dashed] (2, 3) -- (3, 4);

    \draw[ultra thick, -latex] (1, 5) -- (3, 6);
    \draw[ultra thick, -latex] (1, 5) -- (2, 5);
    \draw[ultra thick, dashed] (3, 6) -- (4, 6);
    \draw[ultra thick, dashed] (2, 5) -- (4, 6);
  \end{tikzpicture}
\end{figure}
Выберем какой-то из узлов решётки и построим на нём три основных периода.
Натянутый на них параллелепипед называется \emph{элементарной ячейкой}. Весь
кристалл можно представить как конструкцию, состоящую из этих ячеек. Стоит
обратить внимание, что объём элементарной ячейки не зависит от выбора основных
трансляционных периодов (это видно на картинке).

Во всех вершинах элементарных ячеек находятся, очевидно, одинаковые атомы.
Все эти вершины представляют собой, таким образом, эквивалентные узлы, причём
каждый из них может совмещён с другим параллельным переносом. Совокупность
решёток, состоящих из таких ячеек, называется \emph{решёткой Браве}.
Очевидно, что решётка Браве не включает в себя всех узлов кристаллических
решёток; более того, она не включает в себя даже всех эквивалентных узлов.
Все решётки Браве идентичны друг другу.

Решётку Браве можно построить, выделив некоторый узел кристаллической решётки,
и произведя \emph{все возможные параллельные переносы}. Если их бесконечное
количество, то и решётка Браве получится бесконечной.

Вернёмся снова к элементарным ячейкам. Так как выбор основных периодов
неоднозначен, то и выбор элементарной ячейки тоже неоднозначен. Однако объём
всех возможных элементарных ячеек одинаков. Кстати, элементарная ячейка не
обязана повторять симметрию самой кристаллической решётки.
\section{Обратная решётка.}
Все физические величины, характеризующие свойства решётки, обладают той же
периодичностью, что и сама решётка. Нас будет интересовать потенциальная энергия
электрона в такой решётке. Обозначим её за \(U(\vec{r})\). Она периодична:
\begin{equation}
  U(\vec{r} + n_1\vec{a_1} + n_2\vec{a_2} + \dots) = U(\vec{r}).
\end{equation}

Рентгеновские лучи взаимодействуют с электронами. С атомами они
взаимодействовать не будут, так как те слишком тяжелые, а у рентгеновских лучей
слишком большая частота. Поэтому лучи будут взаимодействовать с периодическим
полем. \(U(\vec{r})\) --- периодическая функция, значит, её можно разложить в
тройной ряд Фурье, который можно записать следующим образом:
\begin{equation}
  U(\vec{r}) = \sum_{\vec{b}} U_{\vec{b}}e^{i\dotprod{\vec{b}}{\vec{r}}}.
\end{equation}
Стоит обратить внимание на то, что в показателе экспоненты стоит
безразмерная величина. Таким образом, вектора \(\vec{b}\) имеют размерность
обратной длины. Забегая вперёд, скажем, что на них и будет строиться обратная
решётка.

Периодичность соблюдается только если периодично каждое из слагаемых, то есть
\begin{equation}
  e^{i\dotprod{\vec{b}}{(\vec{r} + \vec{a})}} = e^{i\dotprod{\vec{b}}{\vec{r}}}.
\end{equation}
Другими словами,
\begin{equation*}
  e^{i\dotprod{\vec{b}}{\vec{a}}} = 1.
\end{equation*}
А это достигается при
\begin{equation}
  \dotprod{\vec{a}}{\vec{b}} = 2\pi m
\end{equation}
Разложим по проекциям \(\vec{a}\):
\begin{align*}
  \dotprod{\vec{a_1}}{\vec{b}} &= 2\pi P_1 &
  \dotprod{\vec{a_2}}{\vec{b}} &= 2\pi P_2 &
  \dotprod{\vec{a_3}}{\vec{b}} &= 2\pi P_3
\end{align*}
Чтобы найти решение этой системы, разложим по проекциям и \(\vec{b}\):
\begin{equation*}
  \vec{b} = p_1\vec{b_1} + p_2\vec{b_2} + p_3\vec{b_3}.
\end{equation*}
В итоге оказывается, что
\begin{equation}
  \left\{\begin{aligned}
    \vec{b_1} &= \frac{2\pi}{\Omega_0}\crossprod{a_2}{a_3},\\
    \vec{b_2} &= \frac{2\pi}{\Omega_0}\crossprod{a_3}{a_1},\\
    \vec{b_3} &= \frac{2\pi}{\Omega_0}\crossprod{a_1}{a_2}.
  \end{aligned}\right.
\end{equation}
Осталось написать только, что такое \(\Omega_0\):
\begin{equation}\label{eq:vol}
  \Omega_0 = \dotprod{\vec{a_1}}{\crossprod{a_2}{a_3}}.
\end{equation}
Это объём элементарной ячейки.

Таким образом, векторы \(\vec{b}\) есть по величине обратные высоты
параллелепипеда, построенного на векторах \(a_1\), \(a_2\) и \(a_3\).
Нетрудно заметить, что
\begin{equation}
  \dotprod{\vec{a_i}}{\vec{b_k}} = 2\pi\delta_{ik}.
\end{equation}


Теперь построим решётку на векторах \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\). Получится
дискретная решётка, называемая \emph{обратной}. Это тоже дискретная решётка.
Возникает вопрос: ,,А похожа ли она на прямую?'' Ответ: когда как. Например,
решётка, обратная к простой кубической, тоже простая кубическая; а вот обратная
к гранецентрированной будет объемноцентрированной, и наоборот.

Вектора \(b_1\), \(b_2\) и \(b_3\) называются \emph{основными периодами обратной
решётки}. Интересно найти объём элементарной ячейки обратной решётки.
\begin{dmath*}[compact]
  \Omega_0' = \dotprod{\vec{b_1}}{\crossprod{\vec{b_2}}{\vec{b_3}}} =
  \left(\frac{2\pi}{\Omega_0}\right)^3
  \dotprod{\crossprod{\vec{a_2}}{\vec{a_3}}}{
    \crossprod{
      \crossprod{\vec{a_3}}{\vec{a_1}}
    }{
      \crossprod{\vec{a_1}}{\vec{a_2}}
    }
  } =
  \left(\frac{2\pi}{\Omega_0}\right)^3
  \left( \dotprod{
    \vec{a_1}
  }{
    \crossprod{\vec{a_2}}{\vec{a_3}}
  }
  \right)
  \left( \dotprod{
    \vec{a_2}
  }{
    \crossprod{\vec{a_3}}{\vec{a_1}}
  }
  \right)
  = \left( \frac{2\pi}{\Omega_0} \right)\Omega_0^2 = \frac{(2\pi)^3}{\Omega_0}
\end{dmath*}

\section{Условие Брэгга --- Вульфа в терминах обратной решётки.}
\subsection{Доказательство через квантовую механику.}
В идеале мы хотим получить условие Брэгга --- Вульфа в терминах обратной решётки,
так как при рассеянии рентгеновских лучей наблюдается дифракционная картина
именно обратной решётки. 

Оказывается, что условие выглядит следующим образом:
\begin{equation}
  \vec{k_1} - \vec{k_2} = \vec{b},
\end{equation}
где \(\vec{k_1}\) --- волновой вектор падающего излучения, \(\vec{k_2}\) --
волновой вектор отражённого излучения, а \(\vec{b}\) --- трансляционный период
обратной решётки. Для того, чтобы доказать это, нам придётся привлечь квантовую
механику.

Рентгеновские лучи взаимодействуют, в основном, с электронами, так как другие
заряженные частицы --- ядра атомов, --- слишком тяжёлые, и взаимодействие почти
не проявляется.

Воспользуемся квантовой механикой и результатами теории возмущений. В приближении
малого возмущения (а оно здесь верно, так как рентгеновские лучи отклоняются
мало), амплитуду перехода
\begin{equation}\label{eq:ampl0}
  \int e^{i\dotprod{\vec{k}}{\vec{r}}}U(r)e^{-i\dotprod{\vec{k'}}{\vec{r}}}d^3r.
\end{equation}
В качестве потенциала используем плотность заряда \(\rho(\vec{r})\),
создаваемую электронами атомов в решётке:
\begin{equation}\label{eq:ampl}
  \int e^{i\dotprod{\vec{k_1}}{\vec{r}}} \rho(\vec{r}) e^{-i\dotprod{\vec{k_2}}
{\vec{r}}}d^3\vec{r}.
\end{equation}
Разложим \(\rho(\vec{r})\) в ряд Фурье:
\begin{equation*}
  \rho(\vec{r}) = \sum_{\vec{b}} \rho_{\vec{b}}e^{i\dotprod{\vec{b}}{\vec{r}}}.
\end{equation*}
Подставим в \eqref{eq:ampl}, вынесем знак суммы за него, и рассмотрим по
отдельности каждое слагаемое:
\begin{equation}
  \int \rho_{\vec{b}} e^{i\dotprod{(\vec{k_1} - \vec{k_2} + \vec{b})}{\vec{r}}}d^3\vec{r}
  = 2\pi\delta(\vec{k_1} - \vec{k_2} + \vec{b}).
\end{equation}
Интеграл не равен нулю только при условии
\begin{equation*}
  \vec{k_1} - \vec{k_2} = \vec{b}.
\end{equation*}

\subsection{Доказательство через условие Брэгга --- Вульфа для прямой решётки.}
Можно обойтись и без квантовой механики. Изобразим на решётке вектор \(\vec{b}\):
\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{tikzpicture}[x=3pc, y=3pc]
    \foreach \x in {0, 1, 2, ..., 4}{
      \foreach \y in {0, 1, 2, ..., 4}{
        \draw (\x, \y) node{$\bullet$};
      }
    }
    \draw[very thick, -latex] (0.5, 3) -- (2, 4) node[midway, above]{$\vec{k_1}$};
    \draw[very thick, -latex] (0.5, 3) -- (2, 2) node[midway, below]{$\vec{k_2}$};
    \draw[very thick, -latex] (2, 2) -- (2, 4) node[midway, right]{$\vec{b}$};
    \draw (0.5, 3) ++ (-33.7:0.7) arc (-33.7:33.7:0.7);
    \draw (1.2, 3) node[right]{$2\theta$};
  \end{tikzpicture}
\end{figure}

Заметим, что
\begin{equation}
  \abs{\vec{k_1}} = \abs{\vec{k_2}} = k,
\end{equation}
так как рассеяние упруго. Отсюда получим:
\begin{dmath*}[compact]
  b = \abs{\vec{k_1} - \vec{k_2}} = \sqrt{k_1^2 + k_2^2 -
  2\dotprod{\vec{k_1}}{\vec{k_2}}} = \sqrt{2k^2 - 2k^2\cos2\theta} =
  k\sqrt{2}\sqrt{1 - \cos2\theta} = k\sqrt{2}\sqrt{2\sin^2\theta} = 2k\sin\theta,
\end{dmath*}% При этом \(bd = 2\pi\).
то есть,
\begin{equation}\label{eq:bsin}
  b = 2k\sin\theta.
\end{equation}

Уравнение
\begin{equation}
  \dotprod{\vec{b}}{\vec{r}} = \const
\end{equation}
есть уравнение плоскости в прямом пространстве, перпендикулярной вектору
\(\vec{b}\) и находящейся на расстоянии \(\frac{\const}{b}\) от начала
координат.

Выберем начало координат в одном из узлов решётки Бравэ, и пусть
\begin{equation*}
  \vec{b} = p_1\vec{b_1} + p_2\vec{b_2} + p_3\vec{b_3}.
\end{equation*}
По смыслу, это вектор трансляции прямой решётки. Распишем также вектор
трансляции прямой решётки \(\vec{a}\):
\begin{equation*}
  \vec{a} = n_1\vec{a_1} + n_2\vec{a_2} + n_3\vec{a_3}.
\end{equation*}
Перемножим их скалярно, и получим уравнение плоскости:
\begin{equation}
  \frac{\dotprod{\vec{b}}{\vec{a}}}{2\pi} = n_1p_1 + n_2p_2 + n_3p_3 = m.
\end{equation}
Заметим, что \(m\) есть всегда целое число.

Не будем забывать и о том, что уравнение \(\dotprod{\vec{b}}{\vec{r}}\) задаёт
кристаллическую плоскость. Таким образом, каждому вектору обратной решётки
соответствует какое-то семейство кристаллических плоскостей, перпендикулярных
\(\vec{b}\). Все эти плоскости одинаковы, и ориентация их задаётся вектором
\(\vec{b}\), то есть, индексами Миллера \(p_1\), \(p_2\) и \(p_3\). Их можно
выбрать взаимно простыми, чтобы не зарабатывать лишних множителей. 
% пикрелейтед
Таких плоскостей существует много, но есть наиболее близкая к началу координат
плоскость. Чему равно расстояние от начала координат до плоскости? Оно равно \[
  \frac{\const}{b}.
\] Чему при этом равна константа? Она равна \(2\pi m\). Таким образом,
расстояние до плоскости определяется как
\begin{equation}
  d = \frac{2\pi m}{b}.
\end{equation}
%
%Таким образом, расстояние между плоскостями \[
%  d = \frac{2\pi}{b}n
%\]. В прошлый раз, мы продемонстрировали, что \[
%  \vec{b} = 2k\sin\theta
%\]. Поэтому получается, что \[
Подставив сюда \eqref{eq:bsin}, получим
\begin{equation}
  2\pi m = bd = 2kd\sin\theta = 2\frac{2\pi}{\lambda}d\sin\theta
\end{equation}
Отсюда получаем условие
\begin{equation}
  2d\sin\theta = m\lambda.
\end{equation}
А это, как легко заметить, и есть условие Брэгга --- Вульфа.

Подведём итоги: рассеяние рентгеновских лучей всегда упруго, то есть, волновой
вектор меняется только по направлению; причём изменение волнового вектора всегда
равно трансляционному периоду обратной решётки.

% Точку можно взять как центр сферы (сферы Эвольда) + симметрийные соображения
\begin{quickliterature}
  \item Л.\,Д.~Ландау, Е.\,М.~Лифшиц, Теоретическая физика, том 5: статистическая
  физика, часть I: \textsection 128 --- элементы симметрии кристаллической
  решётки, \textsection 129 --- решётка Бравэ, \textsection 133 --- обратная
  решётка.
\end{quickliterature}
\end{document}
